5. Вычислите: $$2 \frac{4}{9} : \left( \frac{2}{3} - \frac{2}{7} \right)$$. Ответ запишите в виде несократимой дроби.

Решение:

1. Переведём смешанное число в неправильную дробь: \( 2 \frac{4}{9} = \frac{2 \cdot 9 + 4}{9} = \frac{18 + 4}{9} = \frac{22}{9} \).
2. Приведём дроби в скобках к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 7 равен 21.
3. \( \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 7} = \frac{14}{21} \).
4. \( \frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{6}{21} \).
5. Выполним вычитание в скобках: \[ \frac{14}{21} - \frac{6}{21} = \frac{14 - 6}{21} = \frac{8}{21} \].
6. Теперь выполним деление: \[ \frac{22}{9} : \frac{8}{21} \].
7. Деление заменяем умножением на обратную дробь: \[ \frac{22}{9} \cdot \frac{21}{8} \].
8. Сократим общие множители: \( 22 = 2 \cdot 11 \), \( 9 = 3 \cdot 3 \), \( 21 = 3 \cdot 7 \), \( 8 = 2 \cdot 4 \).
9. \[ \frac{2 \cdot 11}{3 \cdot 3} \cdot \frac{3 \cdot 7}{2 \cdot 4} \].
10. Сокращаем \( 2 \) и \( 3 \): \[ \frac{\cancel{2} \cdot 11}{\cancel{3} \cdot 3} \cdot \frac{\cancel{3} \cdot 7}{\cancel{2} \cdot 4} = \frac{11 \cdot 7}{3 \cdot 4} = \frac{77}{12} \].

Ответ: \(\frac{77}{12}\).