20. В пятиугольнике ABCDE стороны AB и CD параллельны, а его углы при вершинах A и E равны 120° и 130°. Найдите угол при вершине D пятиугольника, если его диагональ BD параллельна стороне AE.

Угол \(\angle BAD = 120^{\circ}\), угол \(\angle AED = 130^{\circ}\). Так как BD || AE, то \(\angle EBD = \angle AEB\) и \(\angle ADB = \angle EAD\). Сумма внутренних углов пятиугольника равна \((5-2) \cdot 180^{\circ} = 540^{\circ}\). Обозначим \(\angle ABD = x\), \(\angle EBD = y\), \(\angle CDE = z\), \(\angle CDB = w\), \(\angle AED = 130^{\circ}\), \(\angle BAE = 120^{\circ}\). Тогда \(\angle ABC = x + y\) и \(\angle CDE = w + z\). Из-за параллельности прямых BD и AE, получаем \(\angle ABD = \angle EAD\) и \(\angle EBD = \angle AEB\). Пусть \(\angle AEB = \alpha\) , тогда \(\angle EBD = \alpha\). \(\angle ADB = \angle EAD = \beta\). Так как \(\angle BAE = 120^{\circ}\), то \(\alpha+\beta+120^{\circ}+130^{\circ}+\angle C = 540^{\circ}\). \(\angle C = 540^{\circ} - 120^{\circ} - 130^{\circ} - \alpha - \beta \). Так как AB||CD то угол BCD=180-120=60. 120+130+60 + угол ABC + угол CDE=540. 120+130 + 60=310 . Итого 540-310=230. Пусть \(\angle D = x\). Так как BD || AE то \(\angle EBD = \angle AEB\) и \(\angle ADB = \angle EAD\). Имеем, \(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D + \angle E = 540^{\circ}\). \(120^{\circ} + \angle B + \angle C + x + 130^{\circ} = 540^{\circ}\). 250+ \angle B + \angle C + x=540. \(\angle B + \angle C + x =290^{\circ}\). Из-за параллельности сторон AB и CD, а также BD и AE, получается, что сумма углов ABC + BCD = 180, тогда угол BCD = 180 - 120 = 60. Тогда \(\angle B + x=290-60 = 230 \) \(\angle B = \angle A - \angle EBD - \angle ABD \). Если \(\angle BDA = \angle EAD = \gamma \), \(\angle EBD = \angle AEB = \phi\) и \(\angle BAD=120\), \(\angle AED=130\). Так как AB||CD, \(\angle ABC+\angle BCD=180\), \(\angle BCD=180-120=60\). \(120+130+60+\angle ABC+\angle CDE = 540\). \(310+\angle ABC+\angle CDE = 540\), \(\angle ABC+\angle CDE = 230\). Сумма углов пятиугольника 540. Тогда \(120+130+\angle B + \angle D + \angle C = 540 \) \(250+\angle B + \angle D + \angle C = 540\) . Пусть \(\angle D = x\). \(\angle ABC = \alpha, \angle BCD = \beta, \angle CDE = \gamma \). Тогда \(120+\alpha+\beta+x+130=540\) . \(250 + \alpha + \beta + x = 540\) . \(\alpha + \beta + x = 290 \). Из условия АВ||СD, \( \alpha + \beta =180 \). То есть 180 + \(\beta \) = 180. \(\beta=60 \). Итого \( \alpha =120 \), \(120+60+x=290\), x=110, тогда \(\angle D = 110^{\circ}\).