28. Из точки K на основании равнобедренного треугольника опустили перпендикуляры на его боковые стороны. Докажите, что сумма длин этих перпендикуляров не зависит от выбора точки K.

Пусть ABC - равнобедренный треугольник с основанием AC, и K - произвольная точка на основании AC. Опустим перпендикуляры из K на боковые стороны AB и BC, пусть эти основания перпендикуляров D и E соответственно. Тогда KD - перпендикуляр к AB, и KE - перпендикуляр к BC. Пусть высота треугольника из B равна BH. Опустим перпендикуляр из K на BH, это точка F. Рассмотрим прямоугольные треугольники BKD и BFH. У них угол KBD общий, значит они подобны, тогда KD/KB=BF/BH. Аналогично рассматриваем треугольники BKE и BFH, тогда KE/KB=FH/BH. То есть KD/KB+KE/KB=BF/BH+FH/BH, (KD+KE)/KB=(BF+FH)/BH, (KD+KE)/KB=BH/BH=1. KD+KE=KB=BH. То есть сумма перпендикуляров равна высоте треугольника. Таким образом, сумма длин перпендикуляров из точки K на боковые стороны равна высоте треугольника, проведенной к основанию, и, следовательно, не зависит от положения точки K на основании.