22. Постройте график функции y = (0,25x²-0,75x)|x| / (x-3) и определите, при каких значениях т прямая y=т не имеет с графиком ни одной общей точки.

Решение:

Рассмотрим функцию \( y = \frac{(0.25x^2 - 0.75x)|x|}{x-3} \).

Упростим числитель:

• \( 0.25x^2 - 0.75x = 0.25x(x - 3) \)

Теперь функция выглядит так:

• \( y = \frac{0.25x(x-3)|x|}{x-3} \)

При \( x \neq 3 \), мы можем сократить \( (x-3) \):

• \( y = 0.25x|x| \)

Рассмотрим два случая для \( |x| \):

1. Если \( x 0 \): \( |x| = x \). Тогда \( y = 0.25x^2 \). Это часть параболы ветвями вверх, начинающаяся от \( x = 0 \) до \( x = 3 \) (исключая \( x = 3 \)).
2. Если \( x < 0 \): \( |x| = -x \). Тогда \( y = 0.25x(-x) = -0.25x^2 \). Это часть параболы ветвями вниз, для \( x < 0 \).

Также нужно учесть, что \( x \neq 3 \). При \( x = 3 \) значение функции не определено. Найдем значение, которое функция стремится принять в точке \( x = 3 \) (исключая \( x=3 \) из области определения):

• \( y = 0.25x^2 \) при \( x \to 3^+ \)
• \( y \to 0.25 3^2 = 0.25 9 = 2.25 \)

Итак, график функции — это:

• Часть параболы \( y = -0.25x^2 \) для \( x < 0 \).
• Часть параболы \( y = 0.25x^2 \) для \( 0 \le x < 3 \).
• Точка \( (3, 2.25) \) выколота.

Прямая \( y = m \) не будет иметь общих точек с графиком, если \( m \) будет равно значению выколотой точки, так как именно там разрыв.

Ответ: 2.25