22. Запишите все правильные дроби со знаменателем 30, у которых числитель и знаменатель — взаимно простые числа.

Решение:

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя.

Нам нужно найти такие числители a, чтобы дробь a/30 была правильной (то есть a < 30), и чтобы числа a и 30 были взаимно простыми (их НОД равен 1).

Разложим знаменатель 30 на простые множители: 30 = 2 × 3 × 5.

Чтобы число a было взаимно простым с 30, оно не должно делиться ни на 2, ни на 3, ни на 5.

Перечислим числа от 1 до 29 и выберем те, которые не делятся на 2, 3 или 5:

• 1 (НОД(1, 30) = 1) — дробь 1/30
• 7 (НОД(7, 30) = 1) — дробь 7/30
• 11 (НОД(11, 30) = 1) — дробь 11/30
• 13 (НОД(13, 30) = 1) — дробь 13/30
• 17 (НОД(17, 30) = 1) — дробь 17/30
• 19 (НОД(19, 30) = 1) — дробь 19/30
• 23 (НОД(23, 30) = 1) — дробь 23/30
• 29 (НОД(29, 30) = 1) — дробь 29/30

Ответ: 1/30, 7/30, 11/30, 13/30, 17/30, 19/30, 23/30, 29/30