221. Составьте уравнение окружности, касающейся осей координат и проходящей через точку К (2; 1).

Решение:

Если окружность касается осей координат, то ее центр находится на биссектрисе одного из координатных углов. Координаты центра будут иметь вид (R; R), (R; -R), (-R; R) или (-R; -R), где R — радиус окружности.

Поскольку окружность проходит через точку К (2; 1), которая находится в первом координатном угле (обе координаты положительны), то центр окружности также должен быть в первом координатном угле, то есть иметь вид (R; R).

Уравнение такой окружности: $$(x-R)^2 + (y-R)^2 = R^2$$.

Подставим координаты точки K (2; 1) в уравнение:

• $$(2-R)^2 + (1-R)^2 = R^2$$

Раскроем скобки:

• $$(4 - 4R + R^2) + (1 - 2R + R^2) = R^2$$
• $$4 - 4R + R^2 + 1 - 2R + R^2 = R^2$$

Приведем подобные члены:

• $$2R^2 - 6R + 5 = R^2$$

Перенесем все члены в одну сторону:

• $$2R^2 - R^2 - 6R + 5 = 0$$
• $$R^2 - 6R + 5 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно R. Можно использовать теорему Виета или дискриминант.

По теореме Виета: сумма корней $$R_1 + R_2 = 6$$, произведение корней $$R_1 ⋅ R_2 = 5$$. Корни: $$R_1 = 1$$ и $$R_2 = 5$$.

Таким образом, существует две такие окружности:

1. Если R = 1:

Центр (1; 1), уравнение: $$(x-1)^2 + (y-1)^2 = 1^2$$, то есть $$(x-1)^2 + (y-1)^2 = 1$$.

2. Если R = 5:

Центр (5; 5), уравнение: $$(x-5)^2 + (y-5)^2 = 5^2$$, то есть $$(x-5)^2 + (y-5)^2 = 25$$.

Ответ: Уравнения окружностей: $$(x-1)^2 + (y-1)^2 = 1$$ и $$(x-5)^2 + (y-5)^2 = 25$$.