222. Определите координаты центра и радиус окружности, заданной уравнением: х² + y² + 4x - 18y - 60 = 0.

Решение:

Чтобы определить координаты центра и радиус окружности, нужно привести данное уравнение к стандартному виду $$(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$$. Для этого используем метод выделения полных квадратов.

Исходное уравнение: $$x^2 + y^2 + 4x - 18y - 60 = 0$$.

Сгруппируем члены с x и y:

• $$(x^2 + 4x) + (y^2 - 18y) - 60 = 0$$

Выделим полные квадраты:

• Для $$x^2 + 4x$$: добавим и вычтем $$(\frac{4}{2})^2 = 2^2 = 4$$. Получим $$(x^2 + 4x + 4) - 4$$.
• Для $$y^2 - 18y$$: добавим и вычтем $$(\frac{-18}{2})^2 = (-9)^2 = 81$$. Получим $$(y^2 - 18y + 81) - 81$$.

Подставим эти выражения обратно в уравнение:

• $$((x^2 + 4x + 4) - 4) + ((y^2 - 18y + 81) - 81) - 60 = 0$$
• $$(x+2)^2 - 4 + (y-9)^2 - 81 - 60 = 0$$

Перенесем константы в правую часть уравнения:

• $$(x+2)^2 + (y-9)^2 = 4 + 81 + 60$$
• $$(x+2)^2 + (y-9)^2 = 145$$

Теперь уравнение имеет стандартный вид $$(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$$.

• Сравнивая, получаем: $$a = -2$$, $$b = 9$$, $$R^2 = 145$$.
• Следовательно, центр окружности находится в точке (-2; 9), а радиус $$R = \sqrt{145}$$.

Ответ: Координаты центра окружности: (-2; 9). Радиус окружности: $$\sqrt{145}$$.