24.21. Докажите тождество: 1) \(\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)=\sin^2\alpha-\sin^2\beta\); 2) \(\frac{ g^2\alpha- g^2\beta}{1- g^2\alpha g^2\beta}= g(\alpha+\beta) g(\alpha-\beta)\); 3) \(\frac{ g\alpha+ g\beta}{ g(\alpha+\beta)}+\frac{ g\alpha- g\beta}{ g(\alpha-\beta)}+2 g^2\alpha=\frac{2}{\cos^2\alpha}\).

1. Применим формулу произведения синусов:

   \(\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)=\frac{\cos 2\beta-\cos 2\alpha}{2}=\sin^2\alpha-\sin^2\beta.\)

2. По формулам тангенса суммы и разности:

   \( g(\alpha+\beta) g(\alpha-\beta)=\frac{( g\alpha+ g\beta)( g\alpha- g\beta)}{(1- g\alpha g\beta)(1+ g\alpha g\beta)}=\frac{ g^2\alpha- g^2\beta}{1- g^2\alpha g^2\beta}.\)

3. Из формул тангенса суммы и разности получаем \(\frac{ g\alpha+ g\beta}{ g(\alpha+\beta)}=1- g\alpha g\beta\), а \(\frac{ g\alpha- g\beta}{ g(\alpha-\beta)}=1+ g\alpha g\beta\). Поэтому левая часть равна \(2+2 g^2\alpha=2(1+ g^2\alpha)=\frac{2}{\cos^2\alpha}\).

Ответ: все три тождества доказаны.