24.23. Найдите наибольшее значение выражения: 1) \(\sin\alpha-\sqrt3\cos\alpha\); 2) \(4\sin\alpha+5\cos\alpha\); 3) \(\sin\alpha+\cos\alpha\); 4) \(2\sin\alpha-\cos\alpha\).

Используем неравенство Коши: для любых \(A,B\), \(A\sin\alpha+B\cos\alpha\leq\sqrt{A^2+B^2}\sqrt{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}=\sqrt{A^2+B^2}\). Равенство достижимо при подходящем \(\alpha\).

1. \(\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2}=2\).
2. \(\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{41}\).
3. \(\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2\).
4. \(\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt5\).

Ответ: 1) 2; 2) \(\sqrt{41}\); 3) \(\sqrt2\); 4) \(\sqrt5\).