24.31. Дано: $\cos\alpha=\frac{\sqrt{21}}7$, $\sin\beta=\frac{5\sqrt7}{14}$, $0^\circ<\alpha<90^\circ$, $0^\circ<\beta<90^\circ$. Найдите $\alpha+\beta$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 24.31. Дано: $\cos\alpha=\frac{\sqrt{21}}7$, $\sin\beta=\frac{5\sqrt7}{14}$, $0^\circ<\alpha<90^\circ$,…$ Фото задания

24.31. Дано: $\cos\alpha=\frac{\sqrt{21}}7$, $\sin\beta=\frac{5\sqrt7}{14}$, $0^\circ<\alpha<90^\circ$, $0^\circ<\beta<90^\circ$. Найдите $\alpha+\beta$.

Accepted Answer

Так как оба угла острые,

$\sin\alpha=\sqrt{1-\frac{21}{49}}=\frac27,\qquad \cos\beta=\sqrt{1-\frac{175}{196}}=\frac{\sqrt{21}}{14}.$

По формуле синуса суммы:

$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta=\frac{\sqrt{21}}{49}+\frac{5\sqrt3}{14}.$

По формуле косинуса суммы:

$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=\frac{3}{14}-\frac{\sqrt{21}}{49}.$

Оба слагаемых в выражении косинуса дают положительную разность, поэтому сумма острых углов меньше $90^\circ$, и найденные значения определяют её однозначно.

Ответ: $\alpha+\beta=\arccos\left(\frac3{14}-\frac{\sqrt{21}}{49}\right)$.

24.31. Дано: \(\cos\alpha=\frac{\sqrt{21}}7\), \(\sin\beta=\frac{5\sqrt7}{14}\), \(0^\circ<\alpha<90^\circ\), \(0^\circ<\beta<90^\circ\). Найдите \(\alpha+\beta\).

Ответ: