24.22. Докажите тождество: 1) $\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)=\cos^2\alpha-\sin^2\beta$; 2) $ g(\alpha+\beta)-( g\alpha+ g\beta)- g(\alpha+\beta) g\alpha g\beta=0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 24.22. Докажите тождество: 1) $\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)=\cos^2\alpha-\sin^2\beta$; 2) \( g(\alpha+\beta)-(…$ Фото задания

24.22. Докажите тождество: 1) $\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)=\cos^2\alpha-\sin^2\beta$; 2) $ g(\alpha+\beta)-( g\alpha+ g\beta)- g(\alpha+\beta) g\alpha g\beta=0$.

Accepted Answer

По формуле произведения косинусов:
$\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)=\frac{\cos 2\alpha+\cos 2\beta}{2}=\cos^2\alpha-\sin^2\beta.$
Объединим два слагаемых с $ g(\alpha+\beta)$:
$ g(\alpha+\beta)(1- g\alpha g\beta)= g\alpha+ g\beta$, поскольку $ g(\alpha+\beta)=\frac{ g\alpha+ g\beta}{1- g\alpha g\beta}$. Следовательно, левая часть равна нулю.

Ответ: оба тождества доказаны.

24.22. Докажите тождество: 1) \(\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)=\cos^2\alpha-\sin^2\beta\); 2) \( g(\alpha+\beta)-( g\alpha+ g\beta)- g(\alpha+\beta) g\alpha g\beta=0\).

Ответ: