24.30. Дано: $\sin\alpha=\frac{\sqrt{21}}7$, $\sin\beta=\frac{\sqrt{21}}{14}$, $0^\circ<\alpha<90^\circ$, $0^\circ<\beta<90^\circ$. Найдите $\alpha+\beta$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 24.30. Дано: $\sin\alpha=\frac{\sqrt{21}}7$, $\sin\beta=\frac{\sqrt{21}}{14}$, $0^\circ<\alpha<90^\circ$,…$ Фото задания

24.30. Дано: $\sin\alpha=\frac{\sqrt{21}}7$, $\sin\beta=\frac{\sqrt{21}}{14}$, $0^\circ<\alpha<90^\circ$, $0^\circ<\beta<90^\circ$. Найдите $\alpha+\beta$.

Accepted Answer

Из условий первой четверти:

$\cos\alpha=\sqrt{1-\frac{21}{49}}=\frac27,\qquad \cos\beta=\sqrt{1-\frac{21}{196}}=\frac{5\sqrt7}{14}.$

По формуле синуса суммы:

$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta=\frac{5\sqrt3}{14}+\frac{\sqrt{21}}{49}.$

По формуле косинуса суммы:

$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=\frac{2\sqrt7}{49}-\frac{3}{14}.$

Поскольку $\alpha+\beta$ находится в первой или второй четверти и найденный косинус отрицателен, сумма лежит во второй четверти. Эти значения однозначно задают угол.

Ответ: $\alpha+\beta=\arccos\left(\frac{2\sqrt7}{49}-\frac3{14}\right)$ (угол второй четверти).

24.30. Дано: \(\sin\alpha=\frac{\sqrt{21}}7\), \(\sin\beta=\frac{\sqrt{21}}{14}\), \(0^\circ<\alpha<90^\circ\), \(0^\circ<\beta<90^\circ\). Найдите \(\alpha+\beta\).

Ответ: