24. Докажите, что если диагонали прямоугольника перпендикулярны, то он является квадратом.

Пусть диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O и перпендикулярны. Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому OA = OB. Треугольник AOB прямоугольный равнобедренный.

Аналогично, в треугольнике BOC имеем OB = OC и ∠BOC = 90°. Поскольку OA = OC, треугольники AOB и BOC равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, AB = BC.

У прямоугольника все углы прямые, а равенство соседних сторон означает, что он является квадратом.