25. На сторонах квадрата ABCD последовательно отложены равные отрезки: AA₁ = BB₁ = CC₁ = DD₁. Докажите, что четырёхугольник A₁B₁C₁D₁ — квадрат.

Обозначим сторону исходного квадрата через a, а длину каждого отложенного отрезка — через x. Выберем координаты A(0, 0), B(a, 0), C(a, a), D(0, a). Тогда A₁(x, 0), B₁(a, x), C₁(a − x, a), D₁(0, a − x).

Векторы соседних сторон нового четырёхугольника равны (a − x, x) и (−x, a − x). Их скалярное произведение равно −x(a − x) + x(a − x) = 0, поэтому соседние стороны перпендикулярны. Длины всех четырёх сторон одинаковы: каждая имеет длину √((a − x)² + x²).

Четырёхугольник с равными сторонами и прямым углом является квадратом. Значит, A₁B₁C₁D₁ — квадрат.