24. Квадрат суммы двух последовательных натуральных чисел больше суммы их квадратов на 264. Найдите эти числа.

Пусть первое натуральное число равно x, тогда второе число равно x+1. Квадрат их суммы (x + (x + 1))^2 = (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1, а сумма их квадратов равна x^2 + (x + 1)^2 = x^2 + x^2 + 2x + 1 = 2x^2 + 2x + 1. Квадрат суммы больше суммы квадратов на 264, поэтому: $$4x^2 + 4x + 1 = 2x^2 + 2x + 1 + 264$$ $$2x^2 + 2x - 264 = 0$$ $$x^2 + x - 132 = 0$$ Решаем квадратное уравнение через дискриминант: $$D = 1^2 - 4 * 1 * (-132) = 1 + 528 = 529$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{529} = 23$$ $$x_1 = \frac{-1 + 23}{2} = \frac{22}{2} = 11$$ $$x_2 = \frac{-1 - 23}{2} = \frac{-24}{2} = -12$$ Так как числа натуральные, то x = 11. Тогда второе число 12. Проверим: (11+12)^2 = 23^2 = 529 11^2 + 12^2 = 121 + 144 = 265 529-265 = 264 Ответ: 11 и 12.