27. Знаменатель дроби на 3 больше числителя. Если к этой дроби прибавить обратную ей дробь, получится 149/70. Найдите дробь.

Пусть числитель дроби равен x. Тогда знаменатель равен x + 3. Исходная дробь равна x / (x+3). Обратная дробь равна (x+3) / x. Сумма дроби и обратной дроби равна 149/70. Получаем уравнение: $$\frac{x}{x+3} + \frac{x+3}{x} = \frac{149}{70}$$ Умножим обе части уравнения на 70x(x+3): $$70x^2 + 70(x+3)^2 = 149x(x+3)$$ $$70x^2 + 70(x^2 + 6x + 9) = 149x^2 + 447x$$ $$70x^2 + 70x^2 + 420x + 630 = 149x^2 + 447x$$ $$140x^2 + 420x + 630 = 149x^2 + 447x$$ $$9x^2 + 27x - 630 = 0$$ $$x^2 + 3x - 70 = 0$$ Решаем квадратное уравнение через дискриминант: $$D = 3^2 - 4 * 1 * (-70) = 9 + 280 = 289$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$$ $$x_1 = \frac{-3 + 17}{2} = \frac{14}{2} = 7$$ $$x_2 = \frac{-3 - 17}{2} = \frac{-20}{2} = -10$$ Если x = 7, то знаменатель 7+3 = 10. Дробь 7/10. Проверим: 7/10 + 10/7 = 49/70+100/70= 149/70 Если x = -10, то знаменатель -10+3=-7. Дробь -10/-7 или 10/7. Проверим: 10/7+7/10 = 100/70 + 49/70 = 149/70 Ответ: 7/10 или 10/7