25. В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 44. Найдите стороны треугольника ABC.

Пусть биссектриса BE и медиана AD пересекаются в точке O. Так как BE и AD перпендикулярны, треугольник AOB - прямоугольный. Поскольку BE является одновременно и биссектрисой и высотой в треугольнике ABE, то треугольник ABE - равнобедренный, и AB = AE. Так как AD - медиана, то BD = DC. Значит, AE = EC = AB. То есть AC = 2AB. Пусть AB = x. В треугольнике AOB: AO = OD = AD / 2 = 44 / 2 = 22. По теореме Пифагора, в треугольнике ABO: $$x^2 = AO^2 + BO^2$$ Так как AD перпендикулярна BE, то AOB прямоугольный. Т.к BE – биссектриса, AO является высотой и медианой в треугольнике ABE, следовательно, AB=AE=x и AO=OD = 22. Значит BD=CD.Пусть сторона AB=x, тогда сторона AC=2x .В треугольнике ABD: $$AB^2+BD^2-2*AB*BD*cosB=AD^2$$ В треугольнике ABC cosB=(AB^2+BC^2-AC^2)/(2*AB*BC)=(x^2+BC^2-4x^2)/(2*x*BC)=(BC^2-3x^2)/(2x*BC) Рассмотрим треугольник ABO , в нем AO=22, OB=22 $$АВ^2=22^2+22^2, Rightarrow х = 22√2, тогда сторона АС=44√2$$ Т.к BE - биссектриса, то $$rac{AB}{BC} = \frac{AE}{EC}$$. Значит $$ \frac{x}{BC} = \frac{x}{x}$$. $$ \frac{BC}{2} =44$$, следовательно, $$ BC = 88$$ Ответ: Стороны треугольника АВС: AB=$$22\sqrt{2}$$, АС=$$44\sqrt{2}$$, ВС=88.