25. Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 25 и CD = 16 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB = 60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Обозначим через \(2\alpha\) и \(2\beta\) величины дуг, стягиваемых хордами \(AB\) и \(CD\), которые соответствуют углу между диагоналями. По теореме об угле между пересекающимися хордами \(\alpha+\beta=60^\circ\).

Длины хорд равны \(AB=2R\sin\alpha=25\) и \(CD=2R\sin\beta=16\). Используем тождество \(\sin^2\alpha+\sin^2\beta-2\sin\alpha\sin\beta\cos(\alpha+\beta)=\sin^2(\alpha+\beta)\). После умножения на \((2R)^2\) получаем \(25^2+16^2-2\cdot25\cdot16\cos60^\circ=4R^2\sin^260^\circ\).

Левая часть равна \(481\), а правая — \(3R^2\). Значит, \(R^2=\frac{481}{3}\).

Ответ: \(\sqrt{\frac{481}{3}}\).