267. В треугольниках ABC и A1B1C1 углы A и A1 — прямые, BD и B1D1 — биссектрисы. Докажите, что ΔABC = ΔA1B1C1, если ∠B = ∠B1 и BD = B1D1.

В треугольниках ABC и A1B1C1 углы A и A1 - прямые, значит, эти треугольники прямоугольные. BD и B1D1 - биссектрисы углов B и B1 соответственно. По условию ∠B = ∠B1, а BD = B1D1. В треугольниках ABD и A1B1D1 имеем: ∠A = ∠A1=90, ∠ABD = ∠A1B1D1 (т.к. BD и B1D1 биссектрисы углов B и B1, ∠B=∠B1), BD = B1D1. По двум углам и стороне, прилежащей к одному из них, треугольники ABD и A1B1D1 равны. Отсюда следует равенство всех сторон и углов в них, и в частности равенство сторон AB = A1B1. Т.к. ∠B=∠B1 и АВ=A1B1, и ∠A=∠A1=90 , тогда треугольники ABC и A1B1C1 равны по катету и острому углу. Что и требовалось доказать.