269. Высоты АА1 и ВВ1 треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите ∠АМВ, если ∠А = 55°, ∠В = 67°.

Рассмотрим треугольник АМВ. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Пусть С - третий угол в треугольнике АВС. А1 и В1 - основания высот, значит углы ∠AA1C и ∠BB1A прямые и равны 90°. Угол С=180°-55°-67°=58°. По условию ∠A=55, ∠B=67. Сумма углов в четырехугольнике A1MB1C равна 360, где углы A1 и B1=90. Тогда ∠AMC=360-90-90-58=122°. ∠AMB является смежным с углом AMC, следовательно ∠AMB=180°-122°=58°. Другой вариант решения. В четырехугольнике А1МВ1С сумма углов равна 360, а углы А1=В1=90, тогда углы ∠М+∠С=180, тогда ∠АМВ=180°-∠С=180°-(180°-55°-67°)=55°+67°=122°. Ответ: ∠AMB = 122°.