273 Известно, что 40% жителей города считают, что центральный парк нуждается в реконструкции. Для исследования общественного мнения по этому вопросу добровольцы опросили на улицах 1800 случайных горожан. Найдите математическое ожидание и стандартное отклонение частоты ответа «да» на вопрос «Нужна ли реконструкция в центральном парке?».

Дано:

• Общее число опрошенных (n) = 1800
• Доля жителей, считающих, что парк нуждается в реконструкции (p) = 40% = 0.4

Найти:

• Математическое ожидание частоты ответа «да» (M(p̂))
• Стандартное отклонение частоты ответа «да» (σ(p̂))

Решение:

Здесь мы имеем дело с выборкой, и нас интересует частота (или выборочная доля) ответа «да».

1. Математическое ожидание частоты (M(p̂)): Математическое ожидание выборочной доли равно генеральной доле.
\[ M(\hat{p}) = p \]
2. Подставляем значение:
\[ M(\hat{p}) = 0.4 \]
3. Стандартное отклонение частоты (σ(p̂)): Формула стандартного отклонения выборочной доли:
\[ \sigma(\hat{p}) = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \]
4. Находим 1-p:
\[ 1 - p = 1 - 0.4 = 0.6 \]
5. Подставляем значения в формулу стандартного отклонения:
\[ \sigma(\hat{p}) = \sqrt{\frac{0.4 \times 0.6}{1800}} \]
6. Вычисляем:
\[ \sigma(\hat{p}) = \sqrt{\frac{0.24}{1800}} = \sqrt{0.0001333...} \]
7. Находим квадратный корень:
\[ \sigma(\hat{p}) \approx 0.011547 \]

Ответ:

• Математическое ожидание частоты: 0.4
• Стандартное отклонение частоты: ≈ 0.0115