276 Проводится серия из п испытаний Бернулли с вероятностью успеха р. а) При каком р дисперсия числа успехов наибольшая возможная? б) Чему равно наибольшее возможное стандартное отклонение числа успехов? Указание. Рассмотрите выражение для дисперсии DS = npq как квадратный трёхчлен от р: y = n(p-p²).

Решение:

Дисперсия числа успехов в серии из n испытаний Бернулли с вероятностью успеха p равна D(X) = npq, где q = 1 - p.

Подставим q = 1 - p в формулу дисперсии:

\[ D(X) = n \times p \times (1 - p) \]\[ D(X) = n (p - p^2) \]

Это квадратичная функция от p, ветви которой направлены вниз (из-за коэффициента -1 перед p^2). Наибольшее значение такой функции достигается в вершине параболы.

а) При каком p дисперсия числа успехов наибольшая возможная?

1. Находим вершину параболы y = -p^2 + p. Абсцисса вершины (значение p) находится по формуле:
\[ p_{вершины} = -\frac{b}{2a} \]
2. В нашем случае: a = -1, b = 1.
\[ p = -\frac{1}{2 \times (-1)} = -\frac{1}{-2} = 0.5 \]
3. Вывод: Дисперсия наибольшая при p = 0.5.

б) Чему равно наибольшее возможное стандартное отклонение числа успехов?

1. Находим наибольшую дисперсию при p = 0.5:
\[ D_{max} = n \times p \times q = n \times 0.5 \times (1 - 0.5) = n \times 0.5 \times 0.5 = 0.25n \]
2. Находим наибольшее стандартное отклонение: Стандартное отклонение — это квадратный корень из дисперсии.
\[ \sigma_{max} = \sqrt{D_{max}} = \sqrt{0.25n} = \sqrt{0.25} \times \sqrt{n} = 0.5 \sqrt{n} \]
3. Вывод: Наибольшее возможное стандартное отклонение равно 0.5 \sqrt{n}.

Ответ:

• а) Наибольшая дисперсия достигается при p = 0.5.
• б) Наибольшее возможное стандартное отклонение равно 0.5 \sqrt{n}.