274 Производится серия выстрелов по мишени. Вероятность попадания при каждом отдельном выстреле равна 0,3. Подсчитывается частота попаданий F. Найдите математическое ожидание и стандартное отклонение величины F, если всего произведено: а) 10 выстрелов; б) 1000 выстрелов. Во сколько раз стандартное отклонение во второй серии меньше, чем в первой?

Дано:

• Вероятность попадания (p) = 0.3

Найти:

• Математическое ожидание (M(F)) и стандартное отклонение (σ(F)) для случаев:
• а) n = 10
• б) n = 1000
• Во сколько раз σ(F) во второй серии меньше, чем в первой?

Решение:

Здесь F — это частота попаданий, которая является выборочной долей. Мы будем использовать формулы для математического ожидания и стандартного отклонения выборочной доли.

Вероятность неудачи (q):

\[ q = 1 - p = 1 - 0.3 = 0.7 \]

а) n = 10 выстрелов:

1. Математическое ожидание частоты (M(F)):
\[ M(F) = p = 0.3 \]
2. Стандартное отклонение частоты (σ(F)):
\[ \sigma(F) = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} = \sqrt{\frac{0.3 \times 0.7}{10}} = \sqrt{\frac{0.21}{10}} = \sqrt{0.021} \]
3. Вычисляем:
\[ \sigma(F) \approx 0.1449 \]

б) n = 1000 выстрелов:

1. Математическое ожидание частоты (M(F)):
\[ M(F) = p = 0.3 \]
2. Стандартное отклонение частоты (σ(F)):
\[ \sigma(F) = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} = \sqrt{\frac{0.3 \times 0.7}{1000}} = \sqrt{\frac{0.21}{1000}} = \sqrt{0.00021} \]
3. Вычисляем:
\[ \sigma(F) \approx 0.01449 \]

Сравнение стандартных отклонений:

1. Находим, во сколько раз стандартное отклонение во второй серии меньше, чем в первой:
\[ \text{Отношение} = \frac{\sigma(F)_{первая}}{\sigma(F)_{вторая}} = \frac{\sqrt{0.021}}{\sqrt{0.00021}} = \sqrt{\frac{0.021}{0.00021}} = \sqrt{100} = 10 \]
2. Или, используя вычисленные значения:
\[ \text{Отношение} \approx \frac{0.1449}{0.01449} \approx 10 \]

Ответ:

• а) При 10 выстрелах:
• Математическое ожидание: 0.3
• Стандартное отклонение: ≈ 0.1449
• б) При 1000 выстрелов:
• Математическое ожидание: 0.3
• Стандартное отклонение: ≈ 0.01449
• Стандартное отклонение во второй серии (1000 выстрелов) меньше в 10 раз, чем в первой (10 выстрелов).