28. Коля и Ира не умеют сокращать дроби. Они делают это неправильно. Коля думает, что нужно от числителя отнять 2, а от знаменателя отнять 1. Коля делает так: \(\frac{8}{6} \rightarrow \frac{8-2}{6-1} = \frac{6}{5}\). Ира считает, что нужно от числителя отнять 4, а от знаменателя отнять 3. Ира делает так: \(\frac{8}{6} \rightarrow \frac{8-4}{6-3} = \frac{4}{3}\). Коля и Ира (не обязательно по очереди) двадцать раз «сократили» дробь \(\frac{2018}{2019}\) по своим правилам и получили дробь с числителем 1966. Найдите знаменатель получившейся дроби. Запишите решение и ответ.

Краткая запись:

• Дробь: \(\frac{2018}{2019}\)
• Правило Коли: \(\frac{a}{b} \rightarrow \frac{a-2}{b-1}\)
• Правило Иры: \(\frac{a}{b} \rightarrow \frac{a-4}{b-3}\)
• Сделано 20 «сокращений».
• Получился числитель: 1966
• Найти: Знаменатель — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определим, на сколько изменился числитель.
   \( 2018 - 1966 = 52 \).
2. Шаг 2: Определим, сколько раз применялось правило Коли (уменьшение числителя на 2) и сколько раз правило Иры (уменьшение числителя на 4).
   Пусть \( k \) — количество применений правила Коли, а \( m \) — количество применений правила Иры.
   Общее количество «сокращений» равно 20, значит \( k + m = 20 \).
   Изменение числителя: \( 2k + 4m = 52 \).
   Упростим второе уравнение: \( k + 2m = 26 \).
3. Шаг 3: Решим систему уравнений:
   1) \( k + m = 20 \)
   2) \( k + 2m = 26 \)
   Вычтем первое уравнение из второго:
   \( (k + 2m) - (k + m) = 26 - 20 \)
   \( m = 6 \).
   Подставим \( m=6 \) в первое уравнение:
   \( k + 6 = 20 \)
   \( k = 14 \).
   Итак, правило Коли применялось 14 раз, правило Иры — 6 раз.
4. Шаг 4: Теперь найдем, как изменился знаменатель.
   По правилу Коли знаменатель уменьшается на 1. За 14 применений он уменьшится на \( 14 \times 1 = 14 \).
   По правилу Иры знаменатель уменьшается на 3. За 6 применений он уменьшится на \( 6 \times 3 = 18 \).
5. Шаг 5: Найдем общее изменение знаменателя.
   \( 14 + 18 = 32 \).
6. Шаг 6: Найдем конечный знаменатель. Начальный знаменатель равен 2019.
   \( 2019 - 32 = 1987 \).

Ответ: 1987