Вариант Б1. 1. Дано: ABCD — прямоугольник; BE ⟂ AC; AB = 12 см; AE : EC = 1 : 3. Найти диагонали прямоугольника.

Пусть \(AC=d\). Из отношения \(AE:EC=1:3\) получаем \(AE=\frac d4\).

Введём координаты: \(A(0,0)\), \(B(0,12)\), \(C(a,12)\). Тогда \(E\left(\frac a4,3\right)\).

Условие \(BE\perp AC\) даёт:

\(\left(-\frac a4,9\right)\cdot(a,12)=0\).

\(-\frac{a^2}{4}+108=0\), поэтому \(a^2=432\).

Диагональ:

\(AC=\sqrt{a^2+12^2}=\sqrt{432+144}=\sqrt{576}=24\text{ см}\).

Диагонали прямоугольника равны, поэтому \(BD=24\text{ см}\).

Ответ: \(AC=BD=24\text{ см}\).