3. Из точки P к окружности с центром в точке О проведены касательные РА и РВ (А и В — точки касания); ∠APB = 90°. Расстояние между точками касания АВ равно √5. Чему равно расстояние ОР?

Краткая запись:

• Окружность с центром O.
• Касательные PA и PB.
• Точки касания A и B.
• ∠APB = 90°.
• AB = √5.
• Найти: расстояние OP.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Рассмотрим четырехугольник OAPB. Поскольку PA и PB — касательные, проведенные из точки P, то OA ⊥ PA и OB ⊥ PB. Следовательно, ∠OAP = ∠OBP = 90°.
2. Шаг 2: По условию ∠APB = 90°.
3. Шаг 3: Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. Поэтому ∠AOB = 360° - 90° - 90° - 90° = 90°.
4. Шаг 4: Так как OA и OB — радиусы окружности, OA = OB = R.
5. Шаг 5: У четырехугольника OAPB все углы прямые, и две смежные стороны OA и OB равны. Следовательно, OAPB — квадрат.
6. Шаг 6: В квадрате диагонали равны и являются сторонами. Следовательно, OP = AB.
7. Шаг 7: По условию AB = √5.
8. Шаг 8: Следовательно, OP = √5.

Ответ: √5