4. В окружность с центром в точке О вписан угол ВАС, равный 30°; BC = a. Найдите площадь треугольника ВОС.

Краткая запись:

• Окружность с центром O.
• Вписанный угол ∠BAC = 30°.
• Хорда BC = a.
• Найти: площадь треугольника BOC.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определим центральный угол ∠BOC, который опирается на ту же дугу BC, что и вписанный угол ∠BAC. Центральный угол в два раза больше вписанного угла: \( ext{∠BOC} = 2 imes ext{∠BAC} = 2 imes 30° = 60° \).
2. Шаг 2: Треугольник BOC является равнобедренным, так как OB и OC — радиусы окружности (OB = OC = R).
3. Шаг 3: Поскольку ∠BOC = 60°, а треугольник BOC равнобедренный, то углы при основании равны: \( ext{∠OBC} = ext{∠OCB} = rac{180° - 60°}{2} = rac{120°}{2} = 60° \).
4. Шаг 4: Таким образом, треугольник BOC является равносторонним, так как все его углы равны 60°.
5. Шаг 5: Следовательно, все стороны треугольника BOC равны: OB = OC = BC = a.
6. Шаг 6: Так как треугольник BOC равносторонний, его площадь можно найти по формуле для площади равностороннего треугольника: \( S_{BOC} = rac{ ext{√}3}{4} imes a^2 \).

Ответ: rac{√3}{4} a^2