3. Упростите выражение \(\frac{(-2a^2)^3 · (-ab^2)^3}{8 · (a^3b)^3}\) и найдите его значение при \(a = \frac{7}{8}, b = -1\frac{1}{7}\)

Решение:

Сначала упростим данное выражение, используя свойства степеней:

1. Возведем olimits [ (-2a^2)^3 \] в степень: olimits [ (-2a^2)^3 = (-2)^3 · (a^2)^3 = -8a^{2 · 3} = -8a^6 \]
2. Возведем olimits [ (-ab^2)^3 \] в степень: olimits [ (-ab^2)^3 = (-1)^3 · a^3 · (b^2)^3 = -1 · a^3 · b^{2 · 3} = -a^3b^6 \]
3. Возведем olimits [ (a^3b)^3 \] в степень: olimits [ (a^3b)^3 = (a^3)^3 · b^3 = a^{3 · 3} · b^3 = a^9b^3 \]
4. Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь: olimits [ \frac{-8a^6 · (-a^3b^6)}{8 · a^9b^3} \]
5. Умножим числитель: olimits [ -8a^6 · (-a^3b^6) = 8a^{6+3}b^6 = 8a^9b^6 \]
6. Вся дробь теперь выглядит так: olimits [ \frac{8a^9b^6}{8a^9b^3} \]
7. Сократим дробь. Число 8 и olimits [ a^9 \] сокращаются. Остается olimits [ \frac{b^6}{b^3} \].
8. Используя свойство степеней olimits [ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} \], получаем: olimits [ b^{6-3} = b^3 \].

Упрощенное выражение равно olimits [ b^3 \].

Теперь найдем значение выражения при заданных a и b:

1. Дано olimits [ a = \frac{7}{8} \] и olimits [ b = -1\frac{1}{7} \]. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: olimits [ b = -1 - \frac{1}{7} = -\frac{7}{7} - \frac{1}{7} = -\frac{8}{7} \].
2. Подставим значение b в упрощенное выражение olimits [ b^3 \]: olimits [ \left(-\frac{8}{7}\right)^3 \]
3. Возведем в куб: olimits [ \left(-\frac{8}{7}\right)^3 = \frac{(-8)^3}{7^3} = \frac{-512}{343} \].

Ответ: Упрощенное выражение равно olimits [ b^3 \]. Его значение при olimits [ a = \frac{7}{8}, b = -1\frac{1}{7} \] равно olimits [ -\frac{512}{343} \].