8. Решите систему уравнений olimits [ \begin{cases} x+y+z=4, \\ x+y-z=2, \\ 2x-y+z=1. \end{cases} \]

Решение:

У нас есть система из трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

1. olimits [ x+y+z=4 \]
2. olimits [ x+y-z=2 \]
3. olimits [ 2x-y+z=1 \]

Можно решить эту систему несколькими способами. Воспользуемся методом сложения.

1. Сложим первое и второе уравнения:
   olimits [ (x+y+z) + (x+y-z) = 4 + 2 \] olimits [ 2x + 2y = 6 \] Разделим на 2: olimits [ x + y = 3 \]
2. Теперь сложим второе и третье уравнения:
   olimits [ (x+y-z) + (2x-y+z) = 2 + 1 \] olimits [ 3x = 3 \] Отсюда получаем: olimits [ x = 1 \]
3. Подставим найденное значение x в уравнение olimits [ x + y = 3 \]:
   olimits [ 1 + y = 3 \] olimits [ y = 3 - 1 \] olimits [ y = 2 \]
4. Теперь найдем z, подставив значения x и y в первое уравнение:
   olimits [ x+y+z=4 \] olimits [ 1+2+z=4 \] olimits [ 3+z=4 \] olimits [ z = 4 - 3 \] olimits [ z = 1 \]

Проверим полученные значения, подставив их во все три исходных уравнения:

1. olimits [ x+y+z = 1+2+1 = 4 \] (Верно)
2. olimits [ x+y-z = 1+2-1 = 2 \] (Верно)
3. olimits [ 2x-y+z = 2(1)-2+1 = 2-2+1 = 1 \] (Верно)

Все три уравнения выполняются.

Ответ: olimits [ x = 1, y = 2, z = 1 \].