4. Пешеход рассчитал, что, двигаясь с определенной скоростью, он пройдет намеченный путь за 2,5 ч. Но, увеличив скорость на 1 км/ч, он прошел этот путь за 2 ч. Найдите длину пути.

Решение:

Пусть S — длина пути (в км), v — первоначальная скорость пешехода (в км/ч), а t — время (в часах).

Мы знаем, что расстояние равно скорости, умноженной на время: S = v · t.

Из условия задачи мы имеем два случая:

1. Первый случай: Пешеход двигался со скоростью v и прошел путь S за 2,5 часа. olimits [ S = v · 2.5 \]
2. Второй случай: Скорость увеличилась на 1 км/ч, то есть стала v + 1. Время стало 2 часа. olimits [ S = (v+1) · 2 \]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. olimits [ S = 2.5v \]
2. olimits [ S = 2(v+1) \]

Так как обе части равны S, мы можем приравнять правые части уравнений:

1. olimits [ 2.5v = 2(v+1) \]
2. Раскроем скобки: olimits [ 2.5v = 2v + 2 \]
3. Перенесем члены с v в одну сторону: olimits [ 2.5v - 2v = 2 \]
4. Упростим: olimits [ 0.5v = 2 \]
5. Найдем скорость v: olimits [ v = \frac{2}{0.5} = 4 \] км/ч.

Теперь, когда мы знаем первоначальную скорость, мы можем найти длину пути S, используя любое из исходных уравнений. Возьмем первое:

1. olimits [ S = 2.5v = 2.5 · 4 \]
2. olimits [ S = 10 \] км.

Проверим с помощью второго уравнения:

1. olimits [ S = 2(v+1) = 2(4+1) = 2 · 5 = 10 \] км.

Результаты совпадают.

Ответ: Длина пути равна 10 км.