31. Сторона квадрата равна 1. Через его центр провели любую прямую. Найдите сумму квадратов расстояний от вершин квадрата до этой прямой.

Обозначим через \(r=\frac{\sqrt{2}}{2}\) расстояние от центра квадрата до каждой вершины. Радиус-векторы двух соседних вершин перпендикулярны. Если прямая образует с одним из них угол \(\theta\), квадраты расстояний этой пары вершин до прямой равны \(r^2\sin^2\theta\) и \(r^2\cos^2\theta\).

Для противоположных вершин расстояния до прямой одинаковы, поэтому сумма для всех четырёх вершин равна \(2r^2(\sin^2\theta+\cos^2\theta)=2r^2=1\).

Ответ: 1.