33. Пользуясь чертежом, покажите, что a sin α + b sin β = c sin φ.

Обозначим длину проведённого от вершины отрезка через \(d\). Разобьём площадь треугольника на площади двух меньших треугольников:

\(S=\frac12ad\sin\alpha+\frac12bd\sin\beta\).

С другой стороны, высота к основанию \(c\) равна \(d\sin\varphi\), поэтому \(S=\frac12cd\sin\varphi\).

Приравнивая выражения для площади и сокращая на \(\frac d2\), получаем \(a\sin\alpha+b\sin\beta=c\sin\varphi\).