40. Из вершины тупого угла параллелограмма на две его противоположные стороны опустили высоты. Оказалось, что площадь образованного этими высотами треугольника составляет одну четверть от площади всего параллелограмма. Найдите острый угол параллелограмма.

Пусть стороны параллелограмма имеют длины \(a\) и \(b\), а его острый угол равен \(\alpha\). Длины двух высот, образующих прямоугольный треугольник, равны \(a\sin\alpha\) и \(b\sin\alpha\). Поэтому площадь этого треугольника равна \(\frac12ab\sin^2\alpha\), а площадь параллелограмма — \(ab\sin\alpha\).

По условию их отношение равно \(\frac14\). Значит, \(\frac{\sin\alpha}{2}=\frac14\), откуда \(\sin\alpha=\frac12\). Поскольку \(\alpha\) острый, \(\alpha=30^\circ\).

Ответ: 30°.