37. В треугольнике ABC провели биссектрису BE. На стороне BC взяли точку K так, что угол BEK прямой. Найдите отрезок BK, если AB = a, BC = b, причём a < b.

По формуле длины биссектрисы \(BE=\frac{2ab\cos(B/2)}{a+b}\). Треугольник \(BEK\) прямоугольный при \(E\), а угол \(EBK\) равен \(B/2\), поскольку \(BK\) лежит на стороне \(BC\), а \(BE\) — биссектриса.

Следовательно, \(\cos(B/2)=\frac{BE}{BK}\), то есть \(BK=\frac{BE}{\cos(B/2)}=\frac{2ab}{a+b}\).

Ответ: \(BK=\frac{2ab}{a+b}\).