39. Один из углов параллелограмма равен α. Внутри него взяли точку и опустили из неё на все его стороны перпендикуляры. Их основания образуют новый четырёхугольник. Найдите отношение площадей этого четырёхугольника и параллелограмма.

Пусть стороны параллелограмма направлены вдоль векторов \(\mathbf u\) и \(\mathbf v\), угол между которыми равен \(\alpha\). Представим точку как \(P=s\mathbf u+t\mathbf v\). Вычисление координат оснований перпендикуляров в косоугольной системе координат даёт для площади четырёхугольника отношение к площади параллелограмма \(\frac{1+\cos^2\alpha}{2}\). Это отношение не зависит от положения внутренней точки.

Ответ: \(\frac{S_{\text{четырёхугольника}}}{S_{\text{параллелограмма}}}=\frac{1+\cos^2\alpha}{2}\).