32. Геометрически докажите, что для острого угла α справедлива формула tg(α/2) = sin α / (1 + cos α).

Пусть в прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 1, а острый угол равен \(\alpha\). Тогда противолежащий катет равен \(\sin\alpha\), прилежащий — \(\cos\alpha\).

Проведём биссектрису угла \(\alpha\) до пересечения с противоположным катетом. Обозначим расстояние от вершины угла до точки пересечения через \(d\). В образовавшемся прямоугольном треугольнике катет, прилежащий к углу \(\alpha/2\), равен \(1-d\), а противолежащий — \(d\sin\alpha\) по подобию исходного треугольника.

Поэтому \(\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{d\sin\alpha}{1-d}\). Из подобия также получаем \(d=\frac{1}{1+\cos\alpha}\). Подставляя это значение, имеем \(\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}\).