33. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен α, а биссектриса этого угла равна l. Найдите стороны треугольника.

Пусть боковая сторона равна s. Углы при основании равны α, поэтому угол при вершине равен 180° − 2α. Биссектриса из вершины угла α делит треугольник на два треугольника; по формуле длины биссектрисы или теореме синусов получаем l = 2as cos(α/2)/(a+s), где a — основание.

Также из теоремы синусов a/s = sin(180° − 2α)/sin α = 2 cos α, то есть a = 2s cos α. Подстановка даёт l = 4s cos α cos(α/2)/(1 + 2 cos α). Следовательно, s = l(1 + 2 cos α)/(4 cos α cos(α/2)), а основание a = 2s cos α.

Ответ: боковые стороны равны l(1 + 2 cos α)/(4 cos α cos(α/2)); основание равно l(1 + 2 cos α)/(2 cos(α/2)).