37. Меньшее основание трапеции ABCD (BC ∥ AD, BC < AD) равно 10, а её боковые стороны равны 16 и 12. Продолжения боковых сторон трапеции пересекаются под прямым углом в точке P. Найдите длину средней линии треугольника APD, параллельной стороне AD.

Поскольку BC ∥ AD, треугольники PBC и PAD подобны. Их коэффициент подобия (малый к большому) равен отношению оснований: \(BC/AD=10/AD\). Для точного определения AD используем, что боковые стороны подобны тем же сторонам большого треугольника, а разность соответствующих длин равна отрезку между основаниями.

Обозначим боковые стороны трапеции через 16 и 12, а коэффициент подобия через \(k=BC/AD\). Тогда \(16=(1-k)PA\), \(12=(1-k)PD\) (или наоборот); также угол APD прямой. Сторона BC — гипотенуза малого прямоугольного треугольника, поэтому \(10^2=(kPA)^2+(kPD)^2\). Подстановка выражений через \(1-k\) даёт \(10=\frac{10k}{1-k}\), откуда \(k=1/2\). Тогда \(AD=20\).

Средняя линия треугольника APD, параллельная AD, равна половине AD: \(20/2=10\).

Ответ: 10.