38. Найдите площадь трапеции с основаниями 6 и 15 и диагоналями, равными 10 и 17.

Расположим основание длины 15 горизонтально, а основание длины 6 — над ним. Пусть горизонтальные смещения концов верхнего основания равны \(x\) и \(y\), так что \(x+y=15-6=9\). Тогда квадраты диагоналей имеют вид \(h^2+(x+6)^2\) и \(h^2+(y+6)^2\); эквивалентно, можно обозначить проекции диагоналей на основание как \(u,v\), где \(u+v=15+6=21\).

Из длин диагоналей получаем \(u^2+h^2=17^2\) и \(v^2+h^2=10^2\), причём выбор, согласующийся с суммой проекций, даёт \(u=15\), \(v=6\). Тогда \(h^2=17^2-15^2=64\), значит, \(h=8\).

Площадь: \(S=\frac{6+15}{2}\cdot8=84\).

Ответ: 84.