43. Из точки A, лежащей вне окружности радиуса 10 и удалённой от её центра на расстоянии 20, проведены две касательные к данной окружности. Найдите квадрат расстояния между точками касания.

Пусть M и N — точки касания. Радиус к точке касания перпендикулярен касательной, поэтому \(AM^2=AO^2-OM^2=20^2-10^2=300\).

Прямоугольные треугольники AOM и AON равны, а AO является осью симметрии пары касательных. Угол между радиусом OM и AO удовлетворяет \(\cos\angle MOA=OM/AO=1/2\), значит, \(\angle MOA=60^\circ\), а центральный угол MON равен 120°.

По теореме косинусов: \(MN^2=10^2+10^2-2\cdot10\cdot10\cos120^\circ=300\).

Ответ: 300.