44. Из точки A, лежащей вне окружности с центром в точке O, проведена касательная AM (M — точка касания). Отрезок AO пересекает окружность в точке P. Найдите AP², если радиус окружности равен 9, AM = 2AP.

Обозначим \(AP=x\). Так как P — ближняя к A точка пересечения AO с окружностью, \(AO=AP+PO=x+9\).

Из прямоугольного треугольника AOM: \(AM^2=AO^2-OM^2=(x+9)^2-9^2\). По условию \(AM=2x\), поэтому \(4x^2=(x+9)^2-81=x^2+18x\).

Отсюда \(3x^2-18x=0\), то есть \(x=6\) (значение \(x=0\) не подходит, поскольку A вне окружности). Следовательно, \(AP^2=36\).

Ответ: 36.