4. Докажите в кубе, что A₁B₁ ∥ (DCC₁D₁). Укажите прямую в этой плоскости, параллельную A₁B₁, и проверьте все условия признака.

В кубе противоположные рёбра верхней и нижней граней параллельны, поэтому A₁B₁ ∥ DC. Прямая DC лежит в плоскости (DCC₁D₁). Прямая A₁B₁ не лежит в этой плоскости, поскольку находится в плоскости верхней грани, а эти грани пересекаются по A₁D₁ и A₁B₁ не совпадает с A₁D₁.

По признаку: если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна прямой этой плоскости, то она параллельна плоскости.

Ответ: A₁B₁ ∥ (DCC₁D₁); прямая в данной плоскости — DC.