Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Задание 4. Задача про моторную лодку
Дано:
- Расстояние по течению: \( S_1 = 60 \) км.
- Расстояние по озеру: \( S_2 = 36 \) км.
- Общее время в пути: \( T = 5 \) часов.
- Скорость течения реки: \( v_{теч} = 2 \) км/ч.
Найти: собственную скорость лодки \( v_{собс} \).
Решение:
Обозначим собственную скорость лодки как $$v$$ км/ч.
Скорость лодки по течению реки равна сумме собственной скорости и скорости течения: \( v_{тек} = v + v_{теч} = v + 2 \) км/ч.
Скорость лодки по озеру (стоячая вода) равна собственной скорости: \( v_{оз} = v \) км/ч.
Время в пути по течению:
\[ t_1 = \frac{S_1}{v_{тек}} = \frac{60}{v + 2} \] часов.
Время в пути по озеру:
\[ t_2 = \frac{S_2}{v_{оз}} = \frac{36}{v} \] часов.
Общее время в пути равно сумме времени по течению и по озеру:
\[ t_1 + t_2 = T \]
\[ \frac{60}{v + 2} + \frac{36}{v} = 5 \]
Приведём уравнение к общему знаменателю \( v(v+2) \). При этом нужно учесть, что \( v \neq 0 \) и \( v \neq -2 \). Так как скорость не может быть отрицательной, \( v > 0 \).
\[ 60v + 36(v + 2) = 5v(v + 2) \]
\[ 60v + 36v + 72 = 5v^2 + 10v \]
\[ 96v + 72 = 5v^2 + 10v \]
Перенесём все члены уравнения в правую часть:
\[ 5v^2 + 10v - 96v - 72 = 0 \]
\[ 5v^2 - 86v - 72 = 0 \]
Решим это квадратное уравнение относительно $$v$$. Дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-86)^2 - 4(5)(-72) = 7396 + 1440 = 8836 \]
Найдем корень из дискриминанта:
\[ \sqrt{D} = \sqrt{8836} = 94 \]
Теперь найдём корни для $$v$$:
\[ v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{86 + 94}{2(5)} = \frac{180}{10} = 18 \]
\[ v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{86 - 94}{2(5)} = \frac{-8}{10} = -0.8 \]
Так как скорость не может быть отрицательной, второй корень не подходит.
Следовательно, собственная скорость лодки равна 18 км/ч.
Ответ: 18 км/ч.
