9. Решите уравнение: (x² - 5x)²+10x² - 50x + 24 = 0

Задание 9. Решите уравнение: $$(x^2 - 5x)^2 + 10x^2 - 50x + 24 = 0$$

Обратим внимание на часть уравнения: \( 10x^2 - 50x \). Её можно представить как \( 10(x^2 - 5x) \).

Сделаем замену переменной. Пусть \( y = x^2 - 5x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 + 10y + 24 = 0 \]

Это квадратное уравнение относительно $$y$$. Решим его с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4(1)(24) = 100 - 96 = 4 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{4} = 2 \]

Найдем корни для $$y$$:

\[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 + 2}{2(1)} = \frac{-8}{2} = -4 \]

\[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 - 2}{2(1)} = \frac{-12}{2} = -6 \]

Теперь вернёмся к замене $$y = x^2 - 5x$$:

1. Если $$y_1 = -4$$

\[ x^2 - 5x = -4 \]

\[ x^2 - 5x + 4 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант:

\[ D = (-5)^2 - 4(1)(4) = 25 - 16 = 9 \]

\[ \sqrt{D} = 3 \]

Корни:

\[ x_1 = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]

\[ x_2 = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

2. Если $$y_2 = -6$$

\[ x^2 - 5x = -6 \]

\[ x^2 - 5x + 6 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант:

\[ D = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 \]

\[ \sqrt{D} = 1 \]

Корни:

\[ x_3 = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

\[ x_4 = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]

Таким образом, у данного уравнения четыре корня.

Ответ: $$x = 4$$, $$x = 1$$, $$x = 3$$, $$x = 2$$.