6. Решите уравнение: \(\frac{3x+1}{x-2} = \frac{2x-10}{x+1}\)

Задание 6. Решите уравнение: $$\frac{3x+1}{x-2} = \frac{2x-10}{x+1}$$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны быть равны нулю:

\[ x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2 \]

\[ x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1 \]

Теперь перемножим крест-накрест:

\[ (3x + 1)(x + 1) = (2x - 10)(x - 2) \]

Раскроем скобки:

\[ 3x^2 + 3x + x + 1 = 2x^2 - 4x - 10x + 20 \]

\[ 3x^2 + 4x + 1 = 2x^2 - 14x + 20 \]

Перенесём все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ 3x^2 - 2x^2 + 4x + 14x + 1 - 20 = 0 \]

\[ x^2 + 18x - 19 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. По теореме Виета:

\[ x_1 + x_2 = -18 \]

\[ x_1 \] \(\times\) \( x_2 = -19 \]

Легко подобрать корни: \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -19 \).

Проверим, входят ли эти корни в ОДЗ. Оба корня (1 и -19) не равны 2 и -1, значит, они подходят.

Ответ: $$x = 1$$, $$x = -19$$.