8. Решите уравнение: \(\frac{5}{x^2+2x+1} = \frac{2}{1-x^2} + \frac{1}{x-1}\)

Задание 8. Решите уравнение: $$\frac{5}{x^2+2x+1} = \frac{2}{1-x^2} + \frac{1}{x-1}$$

Сначала разложим знаменатели на множители:

\[ x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2 \]

\[ 1 - x^2 = -(x^2 - 1) = -(x-1)(x+1) \]

Запишем уравнение с разложенными знаменателями:

\[ \frac{5}{(x+1)^2} = \frac{2}{-(x-1)(x+1)} + \frac{1}{x-1} \]

\[ \frac{5}{(x+1)^2} = -\frac{2}{(x-1)(x+1)} + \frac{1}{x-1} \]

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны быть равны нулю:

\[ (x+1)^2 \neq 0 \implies x \neq -1 \]

\[ x-1 \neq 0 \implies x \neq 1 \]

Общий знаменатель для всех дробей — \( (x+1)^2(x-1) \).

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей:

\[ 5(x-1) = -2(x-1) - 1(x+1)^2 \]

Раскроем скобки:

\[ 5x - 5 = -2x + 2 - (x^2 + 2x + 1) \]

\[ 5x - 5 = -2x + 2 - x^2 - 2x - 1 \]

\[ 5x - 5 = -x^2 - 4x + 1 \]

Перенесём все члены в левую часть:

\[ x^2 + 5x + 4x - 5 - 1 = 0 \]

\[ x^2 + 9x - 6 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4(1)(-6) = 81 + 24 = 105 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{105} \]

Корни:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + \sqrt{105}}{2} \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - \sqrt{105}}{2} \]

Оба корня не равны 1 или -1, поэтому они являются решениями уравнения.

Ответ: $$x = \frac{-9 + \sqrt{105}}{2}$$, $$x = \frac{-9 - \sqrt{105}}{2}$$.