Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Задание 7. Задача про экскаваторы
Дано:
- Совместная работа двух экскаваторов: \( T_{совм} = 48 \) дней.
- Первый экскаватор работает в 3 раза быстрее второго.
Найти: время выполнения работы первым экскаватором \( T_1 \).
Решение:
Обозначим производительность первого экскаватора как \( P_1 \), а второго — как \( P_2 \). Производительность — это объём работы, выполняемый за единицу времени (в данном случае, за один день).
Пусть объём работы по выемке котлована равен 1 (вся работа).
Производительность первого экскаватора: \( P_1 = \frac{1}{T_1} \) (часть котлована в день).
Производительность второго экскаватора: \( P_2 = \frac{1}{T_2} \) (часть котлована в день).
По условию, первый экскаватор работает в 3 раза быстрее второго, значит:
\[ P_1 = 3 P_2 \]
Подставим выражения для производительности:
\[ \frac{1}{T_1} = 3 \cdot \frac{1}{T_2} \]
\[ \frac{1}{T_1} = \frac{3}{T_2} \]
Отсюда выразим \( T_2 \) через \( T_1 \):
\[ T_2 = 3 T_1 \]
Совместная производительность двух экскаваторов равна сумме их индивидуальных производительностей:
\[ P_{совм} = P_1 + P_2 \]
Также совместная производительность равна объёму работы, делённому на время совместной работы:
\[ P_{совм} = \frac{1}{T_{совм}} = \frac{1}{48} \]
Подставим выражения для \( P_1 \) и \( P_2 \) в уравнение для \( P_{совм} \):
\[ \frac{1}{48} = \frac{1}{T_1} + \frac{1}{T_2} \]
Теперь подставим \( T_2 = 3T_1 \):
\[ \frac{1}{48} = \frac{1}{T_1} + \frac{1}{3T_1} \]
Приведём правую часть к общему знаменателю \( 3T_1 \):
\[ \frac{1}{48} = \frac{3}{3T_1} + \frac{1}{3T_1} \]
\[ \frac{1}{48} = \frac{4}{3T_1} \]
Теперь решим это уравнение относительно \( T_1 \):
\[ 3T_1 = 4 \] \(\times\) \( 48 \)
\[ 3T_1 = 192 \]
\[ T_1 = \frac{192}{3} \]
\[ T_1 = 64 \]
Итак, первый экскаватор мог бы выполнить работу за 64 дня.
Ответ: 64 дня.
