Предложение 'Я проснулся и увидел, что лунная ночь еще более побелела.' является сложным, так как состоит из двух частей, связанных подчинительным союзом 'что'. Первая часть – 'Я проснулся и увидел' (простое предложение), вторая часть – 'что лунная ночь еще более побелела' (придаточное изъяснительное). Следовательно, это сложноподчиненное предложение (СПП).
Ответ: сложноподчиненное предложение.