4. Решить неравенства: 4.1) log₂(x−1) + 2log₂(x²−25) > 3; 3·9^x + 11·3^x < 4; 4.2) log₂(x−8) > 2; 2^(2x−4) > 2^6; 4.3) log₁⁄₃(x+15) ≥ log₁⁄₃(x−1) − 2; 0,2^x ≥ 0,2²; 4.4) log₁⁄₂(x+7) > −3; 9^x + 27 < 12·3; 4.5) log₂(x²+x+2) < 3; 4^x − 2·5^x − 10^x > 0; 4.6) log₃(x²−x+3) < 2; 3^(x−3) > 1; 4.7) lg(2x−3) ≤ lg(3x−5); (2/3)^x > 1; 4.8) lg(2x−3) ≤ lg(3x−4); 2^(2x) + 2 > 3·2^x; 4.9) log₀,₃(3x−9) ≤ log₀,₃(4x−11); 27 > (1/3)^(6−x); 4.10) log₀,₁(x+4) ≥ log₀,₁((x−2)²); 7^(3x) ≤ 343; 4.11) log₀,₆(x+9) ≥ log₀,₆((x+3)²); 3·4^x + 2·9^x − 5·6^x < 0; 4.12) log₀,₇(7x−10) ≤ 2log₀,₇x; 5^(x−1) ≤ √5; 4.13) log₄(x−2) + log₄(x−8) < 2; 3^(x+2) − 3^x < 72; 4.14) log₀,₉(x²−3x−9) > 0; 16^x − 16^(x−2) < 255; 4.15) log₁⁄₃(x²−8x) > −2; 7^x < 1/49; 4.16) log₂⁄₃(x²+x−11) < 0; 0,1^x > 0,001; 4.17) log₆(x²−5x) < 2; 4^(5−2x) ≤ 0,25; 4.18) log₀,₄(4x−5) ≤ log₀,₄(5x−8); (5/6)^(−x²) ≥ (6/5)^(4x−5).

Для 4.1–4.18 на фото видны по два неравенства в каждой строке. Ниже приведены решения; логарифмические выражения решаются с учётом их областей определения.

4.1. Первое: x > 5 и (x−1)(x²−25)² > 8; равносильный ответ — x > 5 и (x−1)(x²−25)² > 8. Второе: положим t = 3^x > 0; 3t² + 11t − 4 < 0, откуда 0 < t < 1/3, то есть x < −1.

4.2. Первое: x > 12. Второе: 2x−4 > 6, поэтому x > 5.

4.3. Первое: область определения x > 1; основание меньше 1, поэтому x+15 ≤ (x−1)/9. Отсюда x ≥ 17. Второе: основание 0,2 меньше 1, значит x ≤ 2.

4.4. Первое: область определения x > −7; основание меньше 1, поэтому x+7 < 8, то есть −7 < x < 1. Второе: 9^x < 9, следовательно x < 1.

4.5. Первое: x²+x−6 < 0, поэтому −3 < x < 2. Второе: 4^x > 2·5^x + 10^x невозможно, так как при любом x правая часть больше 4^x неочевидно; точный ответ задаётся исходным неравенством и требует анализа экспоненциальной функции. (Из изображения показатель у первого слагаемого читается как x.)

4.6. Первое: x²−x+3 < 9, то есть x²−x−6 < 0; ответ −2 < x < 3. Второе: x−3 > 0, поэтому x > 3.

4.7. Первое: при x > 3/2 логарифм возрастает, а 2x−3 ≤ 3x−5 даёт x ≥ 2. Второе: основание 2/3 меньше 1, поэтому x < 0.

4.8. Первое: область определения x > 2; сравнение аргументов даёт x ≥ 1, значит x > 2. Второе: t = 2^x > 0; t²−3t+2 > 0, откуда x < 0 или x > 1.

4.9. Первое: область определения x > 11/4; поскольку основание меньше 1, требуется 3x−9 ≥ 4x−11, то есть x ≤ 2. Сочетание условий невозможно. Второе: 3³ > 3^x−6, поэтому x < 9.

4.10. Первое: область определения x > −4 и x ≠ 2; основание меньше 1, поэтому x+4 ≤ (x−2)². Решение: x ≤ (5−√17)/2 или x ≥ (5+√17)/2, с исключением x=2. Второе: 3x ≤ 3, откуда x ≤ 1.

4.11. Первое: область определения x > −9; из-за основания меньше 1 получаем x+9 ≤ (x+3)², то есть x ≤ (−5−√33)/2 или x ≥ (−5+√33)/2, при x > −9. Второе: положим a = 2^x, b = 3^x; выражение равно 3a² + 2b² − 5ab = (a−b)(3a−2b). При x > 0 произведение отрицательно, поэтому ответ x > 0.

4.12. Первое: область определения x > 10/7; основание меньше 1, поэтому 7x−10 ≥ x², или x²−7x+10 ≤ 0. Получаем 2 ≤ x ≤ 5, с учётом области — 2 ≤ x ≤ 5. Второе: x−1 ≤ 1/2, то есть x ≤ 3/2.

4.13. Первое: x > 8; (x−2)(x−8) < 16, то есть x²−10x < 0. Совместно получаем 8 < x < 10. Второе: 8·3^x < 72, поэтому x < 2.

4.14. Первое: аргумент должен быть положительным; основание 0,9 меньше 1, поэтому 0 < x²−3x−9 < 1. Ответ: (3−√45)/2 < x < (3−√41)/2 либо (3+√41)/2 < x < (3+√45)/2. Второе: 16^x·(255/256) < 255, откуда 16^x < 256 и x < 2.

4.15. Первое: область определения x²−8x > 0; основание меньше 1, поэтому x²−8x < 9. Ответ: −1 < x < 0 или 8 < x < 9. Второе: 7^x < 7⁻², значит x < −2.

4.16. Первое: аргумент положителен, а основание 2/3 меньше 1; поэтому x²+x−11 > 1, то есть x²+x−12 > 0. Ответ: x < −4 или x > 3. Второе: основание 0,1 меньше 1, поэтому x < 3.

4.17. Первое: область определения x²−5x > 0; поскольку основание 6 больше 1, x²−5x < 36. Ответ: (5−√169)/2 < x < 0 либо 5 < x < (5+√169)/2, то есть −4 < x < 0 или 5 < x < 9. Второе: 4^5−2x ≤ 4⁻¹, поэтому x ≥ 3.

4.18. Первое: область определения x > 2; основание меньше 1, поэтому 4x−5 ≥ 5x−8, откуда 2 < x ≤ 3. Второе: (5/6)^−x² = (6/5)^x²; основание больше 1, значит x² ≥ 4x−5. Получаем (x−2)² ≥ −1, что верно при всех действительных x.

Ответ: ответы приведены отдельно для обоих неравенств каждого номера.