4. Сократите дробь \( \frac{a^{2\sqrt{5}}-b^{2\sqrt{5}}}{a^{\sqrt{5}}+b^{\sqrt{5}}} \).

Решение:

Числитель дроби представляет собой разность квадратов, где \( a^{2\sqrt{5}} = (a^{\sqrt{5}})^2 \) и \( b^{2\sqrt{5}} = (b^{\sqrt{5}})^2 \).

По формуле разности квадратов: \( X^2 - Y^2 = (X - Y)(X + Y) \).

Применим эту формулу к числителю:

\[ a^{2\sqrt{5}} - b^{2\sqrt{5}} = (a^{\sqrt{5}})^2 - (b^{\sqrt{5}})^2 = (a^{\sqrt{5}} - b^{\sqrt{5}})(a^{\sqrt{5}} + b^{\sqrt{5}}) \]

Теперь подставим это в исходную дробь:

\[ \frac{(a^{\sqrt{5}} - b^{\sqrt{5}})(a^{\sqrt{5}} + b^{\sqrt{5}})}{a^{\sqrt{5}}+b^{\sqrt{5}}} \]

Сократим общий множитель \( (a^{\sqrt{5}} + b^{\sqrt{5}}) \) в числителе и знаменателе:

\[ a^{\sqrt{5}} - b^{\sqrt{5}} \]

Ответ: \( a^{\sqrt{5}} - b^{\sqrt{5}} \).